SynCON

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Projektbeschreibung

Synchronisation ist ein allgegenwärtiges Phänomen der nichtlinearen Netzwerkdynamik und spielt eine wesentliche Rolle in natürlichen und menschengemachten Systemen. Das Kuramoto-Modell gekoppelter Phasenoszillatoren ist ein paradigmatisches Modell für Synchronisationsprozesse mit vielen Anwendungen in Physik, Biologie und Technik. Im Kontinuumslimit unendlich großer Systeme haben analytische Aussagen über das Kuramoto-Modell zu einer präzisen Theorie des Synchronisationsübergangs geführt. Finite-N-Systeme haben sich jedoch bisher dem analytischen Zugang weitgehend entzogen, was ein umfassendes Verständnis einschränkt.

Wir schlagen hier vor, die kollektive Dynamik des Kuramoto-Modells mit ihren traditionell reellen Zustandsvariablen auf die komplexe Zahlenebene analytisch fortzusetzen. In der Vergangenheit haben solche Komplexifizierungen durch analytische Fortsetzung wiederholt zu großen Fortschritten im Verständnis der nichtlinearen Dynamik in verschiedenen Systemklassen geführt. Zum Beispiel hat eine solche Komplexifizierung eine analytische Theorie von Phasenübergänge, von fraktaler Strukturen und die PT-symmetrische Quantenmechanik ermöglicht. Das vorgeschlagene Projekt strebt an, erstens neuartige Phänomene in einer grundlegenden Klasse komplexifizierter gekoppelter und vernetzter dynamischer Einheiten aufzudecken und zu erklären, wobei der Schwerpunkt auf dem Kuramoto-Modell mit endlichem N liegt; und zweitens einige dieser Erkenntnisse zu nutzen, um speziell Fortschritte beim Verständnis von Ordnungsphänomenen im reellen Kuramoto-Modell zu erzielen, welches wiederum vielen Anwendungen zugrunde liegt. Unsere vorläufige Analyse zeigt die Existenz verallgemeinerter Formen komplexer gelockter Zustände, die auch bei schwacher Kopplung fortbestehen. Darüber hinaus zeigen erste numerische Ergebnisse, dass die Stabilität dieser komplex-gelockten Zustände uns über die Existenz von frequenz-gelockten Teilpopulationen im reellen Modell informiert, wobei die Imaginärteile Aussagen darüber machen, genau welche Einheiten zu diesen Teilpopulationen gehören. In dem vorgeschlagenen Projekt befassen wir uns mit drei Klassen von Fragen zu übergreifenden Schlüsselprinzipien der Synchronisation, zu Methoden der Übertragung von Einsichten aus dem komplexen auf das reelle Modell und zu grundsätzlich neuen Arten kollektiver Dynamik in Klassen komplexifizierter Netzwerke auch jenseits des grundlegenden Kuramoto-Modells.

Ein erfolgreiches Projekt würde nicht nur die komplexen gelockten Zustände spezifisch mit den reell-gelockten und -ungelockten Zuständen im reellen Kuramoto-Modell für endliches N verbinden und damit an mehrere Anwendungen anknüpfen. Es würde auch neue Mechanismen aufdecken und unsere Perspektive auf das Verständnis von Koordinationsphänomenen mittels analytischer Fortsetzungsmethoden für gekoppelte mehrdimensionale dynamische Systeme im Allgemeinen erweitern.

Projektdaten